sexta-feira, novembro 07, 2008

[98] Definição matemática

Uma definição matemática de uma entidade é impredicativa (impredicative) se ela faz referência a um conjunto que contém a entidade definida. Isso não é problemático quando lidamos com conjuntos finitos. A definição do sujeito mais alto de uma sala é impredicativa, pois ela faz referência ao conjunto das pessoas na sala, o qual contém como elemento o sujeito mais alto da sala. Há uma certa circularidade na definição, pois a entidade definida é pressuposta ou referenciada por meio do conjunto que a contém.

A situação não é tão pacífica quando a definição impredicativa faz referência a conjuntos infinitos. É o caso da definição de supremum. Seja X um conjunto, supX é o menor elemento maior que todos os elementos de X. Para definir supX, primeiro identificamos o conjunto de todos os elementos que servem de limite superior a X, isto é, qualquer elemento deste conjunto é maior ou igual que todos os elementos de X. Então, se s=supX, então s deve satisfazer: para todo x E X, x<=s. Essa condição apenas não identifica uma única entidade. Podemos chamar de A o conjunto dos elementos que satisfazem essa condição. Este conjunto pode ser infinito. Com uma nova condição, que agora identifica o menor elemento de A, obtemos a definição de supX. Se um s' satisfaz a primeira condição, isto é, se ele é um elemento de A, então s <= s'. Por meio dessas duas condições, definimos a entidade supX, que, se exite, é única. A definição é impredicativa por fazer referência a um conjunto, no caso, o conjunto dos limites superiores de X, o qual contém a própria entidade definida.

Realistas (Gödel) não vêem problema neste tipo de definição, pois eles concebem a definição mais como uma descrição, sendo assim, a circularidade não é viciosa. O conjunto que contém a entidade definida é visto como um instrumento descritivo para se referir a várias entidades abstratas que existem independentemente da mente. Construtivistas (Poincaré), por outro lado, por conceberem a definição matemática de uma entidade como a operação que constitui e dá existência a essa entidade, são resistentes à definição impredicativa, pois julgam a sua circularidade como viciosa, uma vez que ela pressupõe a existência da entidade que está se tentando definir e constituir.

Construtivistas, por um lado, têm a seu favor o fato de que definições impredicativas são mais sujeitas a paradoxos, como é o caso do famoso paradoxo de Russell. A definição do conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos é impredicativa e gera um paradoxo. Se esse conjunto não é elemento de si mesmo, então ele deveria ser. Se ele é elemento de si mesmo, então ele não deveria. Por outro lado, a análise numérica e diversos ramos da matemática dificilmente passam sem a definição de Supremum. Exigir que se faça ampla revisão da matemática com base em assunções filosóficas é excessivo.

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